Question

【題目】已知，如圖1，為正方形邊的中點，，連接，．

（1）求證：①；

②；

（2）如圖2，若，作，分別交，于點，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①見詳解，②見詳解；（2）2

【解析】

（1）①由為正方形邊的中點，得BE=，易證DFC~CBE，得，進而即可得到結論；②過點F作FM⊥AD，垂足為點M，CF=a，則DF=2a，DC=，用含a得代數式表示出AF的長，進而得到AF= AB，即可得到結論；

（2）過點F作FM⊥AD，垂足為點M，由第（1）②小題，可知：a=，得到DG=MF=，由余弦函數的定義得，從而得到DH，AH，EH的長，結合，即可求解．

（1）①∵為正方形邊的中點，

∴BE=，

∵在正方形ABCD中，，

∴∠CDF+∠DCF=90°，∠DCF+∠ECB=90°，

∴∠CDF=∠ECB，

又∵∠DFC=∠CBE=90°，

∴DFC~CBE，

∴=，即：；

②過點F作FM⊥AD，垂足為點M，

∴FM∥CD，

∴∠MFD=∠CDF，

∴在Rt MFD與Rt CDF中，tan∠MFD=tan∠CDF==，

設CF=a，則DF=2a，DC=，

∵tan∠MFD==，DF2=MD2+MF2，

∴MD：MF：DF=1：2：，

∴MD==，MF=2MD=，

∵AD= DC=，

∴AM= AD- MD=，

∴AF==，

∵AB=CD=，

∴AF= AB，

∴；

（2）過點F作FM⊥AD，垂足為點M，

由（1）②小題可知：，即：a=，

∴MF==，AD=AB=CD=8，

∵AB=AF=AD，，FM⊥AD，

∴DG=MF=，

∵cos∠ADH=，

∴DH===10，

∴AH=，

∵AE=AB=4，

∴EH=6-4=2，

∵AB∥CD，

∴，即：，

∴HP=2．