Question

（2004•岳陽）Rt△AOB中直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心的圓與y軸、直線AB分別相切于O、D（如圖），若AD=2，AE=1．
（1）求BD的長度；
（2）求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線的解析式；
（3）求經(jīng)過E、D、O三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（4）判斷（3）中拋物線的頂點(diǎn)是否在直線AB上．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，連接DF，可得直角三角形，借助于方程，利用勾股定理求得圓的半徑，利用相似求得BD的長；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線的解析式；
（3）首先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)O，E，D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的一般式，解方程組即可；
（4）求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入解析式，看是否左右相等即可．
解答：解：（1）設(shè)⊙F的半徑為r
連接DF，∴BA⊥DF
∵AD切⊙F于D點(diǎn)
∴AD²=AE•AO即2²=1•（2r+1）
∴r=又Rt△ADF∽R(shí)t△AOB
∴
即
∴AB=5，故BD=3；

（2）顯然A（4，0）、B（0，3）
故設(shè)解析式為y=kx+3
將（4，0）代入得AB解析式y(tǒng)=-x+3；

（3）過D作DH⊥AO于H，
∴DH=BO
∵△ABO∽△ADH
∴DH=
又∵DH∥BO
∴，即
∴OH=
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（）
E點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）
設(shè)經(jīng)過EDO的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c．

得
∴所求函數(shù)解析式為y=-+；

（4）（3）中的頂點(diǎn)為（，）．
當(dāng)x=時(shí)，代入y=-x+3=-×+3=≠
故（3）的頂點(diǎn)不在直線AB上．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與圓的綜合知識(shí)，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．