Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）與x軸的交點分別為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．
（1）求證：拋物線總與x軸有兩個不同的交點；
（2）若AB=2，求此拋物線的解析式．
（3）已知x軸上兩點C（2，0），D（5，0），若拋物線y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）與線段CD有交點，請寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△=64m2﹣4m（16m﹣1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴拋物線總與x軸有兩個不同的交點

（2）解：根據題意，x1、x2為方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的兩根，

∴x1+x2=﹣ =8，x1x2= ，

∵|x1﹣x2|=2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，

∴82﹣4 =4，

∴m=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣8x+15

（3）解：拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =4，

∵拋物線開口向上，

∴當x=2，y≥0時，拋物線與線段CD有交點，

∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，

∴m≥

【解析】（1）證明△＞0即可；（2）利用拋物線與x軸的交點問題，則x1、x2為方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的兩根，利用根與系數的關系得到x1+x2=8，x1x2= ，再變形|x1﹣x2|=2得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以82﹣4 =4，然后解出m即可得到拋物線解析式；（3）先求出拋物線的對稱軸為直線x=4，利用函數圖象，由于拋物線開口向上，則只要當x=2，y≥0時，拋物線與線段CD有交點，于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【考點精析】關于本題考查的拋物線與坐標軸的交點，需要了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．