Question

【題目】如圖，在△ABC中，I是△ABC的內心，O是AB邊上一點，⊙O經過B點且與AI相切于I點．若tan∠BAC＝，則sin∠C的值為（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據題意延長AI交BC于D，連結OI，作BH⊥AC于H，如圖，根據內心的性質得∠OBI＝∠DBI，則可證明OI∥BD，再根據切線的性質得OI⊥AI，則BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC為等腰三角形，得到AB＝AC，接著在Rt△ABH中，利用正切的定義得到tan∠BAH＝＝，于是可設BH＝24x，AH＝7x，利用勾股定理得到AB＝25x，則AC＝AB＝25x，CH＝AC﹣AH＝18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理計算出BC＝30x，再利用正弦的定義計算sinC的值．

解：延長AI交BC于D，連結OI，作BH⊥AC于H，如圖，

∵I是△ABC的內心，

∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，

∵OB＝OI，

∴∠OBI＝∠OIB，

∴∠DBI＝∠OIB，

∴OI∥BD，

∵AI為⊙O的切線，

∴OI⊥AI，

∴BD⊥AD，

∵AI平分∠BAC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AB＝AC，

在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，

設BH＝24x，AH＝7x，

∴AB＝＝25x，

∴AC＝AB＝25x，

∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，

在Rt△BCH中，BC＝＝30x，

∴sinC＝＝＝．

故選：B．