Question

如圖所示，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分
規定：線上各點不屬于任何部分，點動點P若在某個部分時，連接PA、PB、構成∠PAC，∠APB、∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線組成的角是0°角）

（1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立，若不成立，請寫出∠APB、∠PAC、∠PBD之間存在的一個關系式．

Answer 1

分析：（1）首先過P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可證得AC∥PQ∥BD，然后根據兩直線平行，內錯角相等，即可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，繼而求得答案；
（2）首先過P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可證得AC∥PQ∥BD，然后根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

解答：（1）證明：過P作PQ∥AC，則∠APQ=∠PAC．            …（1分）
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD．
∴∠BPQ=∠PBD．     …（2分）
∴∠APQ+∠BPQ=∠PAC+∠PBD．
即∠APB=∠PAC+∠PBD．                       …（6分）

（2）解：當動點P在第②部分時，結論∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，…（8分）
過P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥PQ∥BD，
∴∠APQ+∠PAC=180°，∠QPB+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°，
即其存在的關系式是∠PAC+∠PBD=360°-∠APB．   …（10分）

點評：此題考查了平行線的性質．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握兩直線平行，內錯角相等與兩直線平行，同旁內角互補定理的應用．