Question

(8分)如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交
半圓于點D，點E是的中點，連接AE、OD，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P．
(1)求∠AOD的度數；
(2)求證：PD是半圓O的切線．

Answer 1

（1）解：∵點C時OA的中點，∴OC=OA=OD
∵CD⊥OA，∴∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，cos∠COD=
∴∠COD=60°，即∠AOD=60°。
（2）證明：連結OE，∵點E是的中點，

∴，
∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=（180°-∠COD）=（180°-60°）=60°。
∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°
∴∠EAO=30°，
∴PD∥AE，
∴∠P=∠EAO=30°。
由（1）知∠AOD=60°，∴∠PDO=180°-（∠P+∠POD）=180°-（30°+60°）=90°，
∴PD是半圓O的切線。

略