Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發，以每秒1cm的速度沿AC運動；同時點Q從點C出發，以每秒2cm的速度沿CB運動，當Q到達點B時，點P同時停止運動．

（1）求運動幾秒時△PCQ的面積為5cm2？

（2）△PCQ的面積能否等于10cm2？若能，求出運動時間，若不能，說明理由；

（3）是否存在某個時刻t，使四邊形ABQP的面積最小？若存在，求出運動時間，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）經過1秒后，△PCQ的面積等于5cm2；（2）不能，見解析；（3）時，使四邊形ABQP的面積最小

【解析】

（1）設運動t秒后△PCQ的面積等于5cm2，分別表示出線段CP和線段CQ的長，再利用三角形的面積公式列出方程求解即可；

（2）利用三角形的面積公式列出方程，得到的方程無實數解，說明△PCQ的面積不能等于10cm2；

（3）表示出四邊形ABQP的面積，然后利用配方法求得其最小值即可．

（1）設運動t秒后△PCQ的面積等于5cm，

根據題意得：

CP=6﹣t，QC=2t，

則△PCQ的面積是：CQCP=×(6﹣t)×2t=5，

解得：t1=1，t2=5（舍去），

故經過1秒后，△PCQ的面積等于5cm2；

（2）若△PCQ的面積能否等于10cm2，則×(6﹣t)×2t=10，

化簡得： ，

，

所以方程無實數解，△PCQ的面積不能等于10cm2；

（3）= ，

因為>0，

所以四邊形ABQP的面積有最小值，

∴，

當時，四邊形ABQP的面積有最小值為．