Question

【題目】已知如圖①，BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∠BAC＝α．

（1）當α＝40°時，∠BPC＝　 　°，∠BQC＝　 　°；

（2）當α＝　 　°時，BM∥CN；

（3）如圖②，當α＝120°時，BM、CN所在直線交于點O，求∠BOC的度數；

（4）在α＞60°的條件下，直接寫出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數量關系：　 　．

Answer 1

【答案】（1）70， 125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．

【解析】

（1）根據三角形的外角性質分別表示出∠DBC與∠BCE，再根據角平分線的性質可求得∠CBP+∠BCP，最后根據三角形內角和定理即可求解；根據角平分線的定義得出∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度數，根據三角形內角和定理求出即可；

（2）根據平行線的性質得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；

（3）根據題意得到∠MBC+∠NCB，再根據三角形外角的性質和三角形內角和定理得到∠BOC的度數；

（4）分別用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．

解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，

∵BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，

∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，

∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，

∵BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，

∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，

∴∠QBC+∠QCB＝55°，

∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；

（2）∵BM∥CN，

∴∠MBC+∠NCB＝180°，

∵BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∠BAC＝α，

∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，

即（180°+α）＝180°，

解得α＝60°；

（3）∵α＝120°，

∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，

∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；

（4）∵α＞60°，

∠BPC＝90°﹣α

∠BQC＝135°﹣α

∠BOC＝α﹣45°．

∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數量關系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．

故答案為：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．