Question

如圖，已知△ABC的面積S_△ABC=1．
在圖1中，若

AA1

AB

=

BB1

BC

=

CC1

CA

=

1

2

，則S_△A1B1C1=

1

4

；
在圖2中，若

AA2

AB

=

BB2

BC

=

CC2

CA

=

1

3

，則S_△A2B2C2=

1

3

；
在圖3中，若

AA3

AB

=

BB3

BC

=

CC3

CA

=

1

4

，則S_△A3B3C3=

7

16

；
按此規律，若

AA8

AB

=

BB8

BC

=

CC8

CA

=

1

9

，S_△A8B8C8=

 

．

Answer 1

分析：根據圖的特點，找出圖中的相似三角形，求出其相似比，根據面積比等于相似比的平方找出規律解答．

解答：
解：對圖（2）進行分析：可以標出每條邊的所有分點的字母，從A₂開始，逆時針為A₃、B₃、C₃，
可以得到△A₃BB₂∽△ABC，
且面積比為(

1

3

)2=

1

9

，也就可以得到S_△A3BB2=

1

9

S_△ABC，而△A₂A₃B₂和△A₃BB₂同底等高，面積相等，
所以，S_△A2BB2=

2

9

S_△ABC，同樣道理，可得到，S_△B2C2C=

2

9

S_△ABC，S_△AA2C2=

2

9

S_△ABC，
那么S_△A2B2C3=（1-

6

9

）S_△ABC=

1

3

S_△ABC．
根據上述分析可以得到，如果An-1是AB的n等分點，Bn-1是BC的n等分點，Cn-1是AC的n等分點，
那么S_{△An-1Bn-1Cn-1}=1-(

1

n

)2×3×(n-1)=1-

3(n-1)

n2

，當n=9時，則S_△A8B8C8=1-

3(9-1)

81

=

19

27

．

點評：此題運用了相似三角形的判定和性質，以及相似三角形的面積比等于相似比的平方，還用到了等底等高的三角形面積相等的知識．