Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O為坐標原點，頂點A、C的坐標分別為（0，﹣）、（2，0），將矩形OABC繞點O順時針旋轉45°得到矩形OA′B′C′，邊A′B′與y軸交于點D，經過坐標原點的拋物線y=ax2+bx同時經過點A′、C′．

（1）求拋物線所對應的函數表達式；

（2）寫出點B′的坐標；

（3）點P是邊OC′上一點，過點P作PQ⊥OC′，交拋物線位于y軸右側部分于點Q，連接OQ、DQ，設△ODQ的面積為S，當直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1：3的兩部分時，求S的值；

（4）保持矩形OA′B′C′不動，將矩形OABC沿射線CO方向以每秒1個單位長度的速度平移，設平移時間為t秒（t＞0）．當矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對稱多邊形時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+x；

（2）B′（1，﹣3）；

（3）S△ODQ′=×2×=．

（4）0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2時，矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對稱多邊形．

【解析】

試題分析：（1）求出A、C兩點坐標，把A、C兩點坐標代入y=ax2+bx解方程組即可．

（2）如圖1中，連接A′C′，OB′交于點E．求出點E坐標，根據中點坐標公式即可解決問題．

（3）分兩種情形①當OP：PC′=1：3時，P（，﹣），求出直線PQ的解析式，利用方程組求出點Q坐標即可．②當OP′：P′C′=3：1時，P′（，﹣），方法類似．

（4）分別求出①如圖3中，當AB經過點C′時，②如圖4中，當O′C′=O′A=時，③如圖5中，當點A在直線B′C′上時的時間t，觀察圖象即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，

由題意A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），把A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2）代入y=ax2+bx得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x．

（2）如圖1中，連接A′C′，OB′交于點E．∵四邊形OA′B′C′是矩形，

∴A′E=EC′，OE=EB′，∵A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），∴E（，﹣），∴B′（1，﹣3）．

（3）如圖2中，∵直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1：3的兩部分，

∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．

①當OP：PC′=1：3時，P（，﹣），直線PQ的解析式為y=x﹣1，

由，解得或，∵點Q在第四象限，

∴Q（，）．∵D（0，﹣2），∴S△ODQ=×2×=．

②當OP′：P′C′=3：1時，P′（，﹣），∴直線P′Q′的解析式為y=x﹣3，

由解得或，

∴Q′（，），∴S△ODQ′=×2×=．

（4）如圖3中，當AB經過點C′時，t=2﹣2，

如圖4中，當O′C′=O′A=時，AB與B′C′交于點M，連接O′M，則△O′MA≌△O′MC′，

此時t=OO′=2﹣=，

如圖5中，當點A在直線B′C′時上，t=OO′=2﹣1．

綜上所述，觀察圖形可知0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2時，矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對稱多邊形．