Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（0，a）、B（b，0）．

（1）若a、b滿足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0．如圖，在第一象限內以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，請求四邊形AOBC的面積S；

（2）如圖，若將線段AB沿x軸向正方向移動a個單位得到線段DE（D對應A，E對應B）連接DO，作EF⊥DO于F，連接AF、BF，判斷AF與BF的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)9;(2) 結論：FA=FB，FA⊥FB，理由見解析.

【解析】

（1）根據非負數的性質列出算式，求出a、b的值；根據等腰直角三角形的性質求出AC、BC，根據三角形的面積公式計算即可；
（2）作FG⊥y軸，FH⊥x軸垂足分別為G、H，證明四邊形FHOG是正方形，得到OG=FH，∠GFH=90°，證明△AFG≌△BFH，根據全等三角形的性質計算即可．

解：（1）∵a2+b2-8a-4b+20=0，
∴（a-4）2+（b-2）2=0，
∴a=4，b=2；即A（0，4），B（2，0），
∴AB= =2

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=,

∴四邊形AOBC的面積S=×OA×OB+×AC×BC=4+5=9；

（2）

結論：FA=FB，FA⊥FB，理由如下：
如圖2，作FG⊥y軸，FH⊥x軸垂足分別為G、H，
∵A（0，a）向右平移a個單位到D，
∴點D坐標為（a，a），點E坐標為（a+b，0），
∴∠DOE=45°，
∵EF⊥OD，
∴∠OFE=90°，∠FOE=∠FEO=45°，
∴FO=EF，
∴FH=OH=HE=（a+b），
∴點F坐標為（，），
∴FG=FH，四邊形FHOG是正方形，
∴OG=FH=，∠GFH=90°，
∴AG=AO-OG=a-=，BH=OH-OB=-b=，
∴AG=BH，
在△AFG和△BFH中，

∴△AFG≌△BFH，
∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，
∴∠AFB=∠AFG+∠BFG=∠BFH+∠BFG=90°，
∴FA=FB，FA⊥FB．