Question

如圖1，直線l過正方形ABCD的頂點B，A、C兩頂點在直線l同側，過點A、C分別作AE⊥直線l、CF⊥直線l，垂足分別為E、F．
（1）求證：EF=AE+CF；
證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∵AE⊥直線l、CF⊥直線l．
∴∠AEB=∠BFC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°，
又∵∠ABE+∠CBF=180°-∠ABC=180°-90°=90°
∴

∠EAB=∠CBF

（同角的余角相等）
在△AEB與△BFC中
∵（

∠AEB=∠BFC ∠EAB=∠CBF AB=BC

）
∴△AEB≌△BFC（

AAS

）
∴

AE=BF，EB=FC

（

全等三角形的對應邊相等

）
∵EF=BF+EB
∴EF=AE+CF（等量代換）
（2）當A、C兩頂點在直線l的兩側時（如圖2），其它條件不變，那么EF、AE、CF滿足什么數量關系？并證明你所得到的結論．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質就可以得出AB=BC，∠ABC=90°，再根據余角的性質就可以得出∠EAB=∠CBF，從而根據AAS可以證明△AEB≌△BFC，得出AE=BF，EB=FC就可以得出結論；
（2）根據正方形的性質及條件證明△AEB≌△BFC就可以得出AE=BF，BE=CF，從而可以得出結論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵AE⊥直線l、CF⊥直線l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠ABE+∠CBF=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠EAB=∠CBF（同角的余角相等）．
在△AEB與△BFC中
∵

∠AEB=∠BFC ∠EAB=∠CBF AB=BC

，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，EB=FC （全等三角形的對應邊相等）．
∵EF=BF+EB，
∴EF=AE+CF（等量代換）．
故答案為：∠EAB=∠CBF，

∠AEB=∠BFC ∠EAB=∠CBF AB=BC

，AAS，AE=BF，EB=FC，全等三角形的對應邊相等．
（2）解：結論：EF=AE-CF 
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵AE⊥直線l、CF⊥直線l，
∴∠AEB=∠BFC=90°．
∵∠ABE+∠CBF=90°
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等）．
在△AEB與△BFC中

∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，BE=CF （全等三角形的對應邊相等）．
∵EF=BF-BE，
∴EF=AE-CF（等量代換）．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，余角的性質的運用，垂直的性質的運用，解答本題是證明三角形全等利用性質解題是關鍵．