Question

已知x、y、z都是實數，且x²+y²+z²=1，則m=xy+yz+zx（ ）
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既無最大值又無最小值

Answer 1

【答案】分析：先用配方法化成m=[（x+y+z）²-（x²+y²+z²）]=[（x+y+z）²-1]的形式，即可得出最小值，再根據x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2xz，三式相加可得最大值．
解答：解：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz，
∴m=[（x+y+z）²-（x²+y²+z²）]=[（x+y+z）²-1]≥-，
即m有最小值，
而x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2xz，
三式相加得：2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+xz），
∴m≤x²+y²+z²=1，即m有最大值1．
故選C．
點評：本題考查了配方法的應用，難度較大，關鍵是掌握用配方法求二次函數的最值．