Question

【題目】△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，點D在AB邊上（不與點A、B重合），以CD為腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如圖1，作EF⊥BC于F，求證：△DBC≌△CFE；
（2）在圖1中，連接AE交BC于M，求的值；
（3）如圖2，過點E作EH⊥CE交CB的延長線于點H，過點D作DG⊥DC，交AC于點G，連接GH．當點D在邊AB上運動時，式子的值會發生變化嗎？若不變，求出該值；若變化請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵△CDE為等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，
，
∴△DBC≌△CFE；
（2）解：如圖1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴的值為2；
（3）解：的值不變．
在EH上截取EQ=DG，如圖2，
在△CDG和△CEQ中
，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴==1．

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根據“AAS”可證明△DBC≌△CFE；
（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC為等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接著證明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以=2；
（3）在EH上截取EQ=DG，如圖2，先證明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，則∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再證明△HCG≌△HCQ，則得到HG=HQ，然后可計算出=1．