Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線BM⊥AB于點B，點C在⊙O上，分別連接BC，AC，且AC的延長線交BM于點D，CF為⊙O的切線交BM于點F．

（1）求證：CF＝DF；

（2）連接OF，若AB＝10，BC＝6，求線段OF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）OF＝．

【解析】

（1）連接OC，如圖，根據切線的性質得∠1+∠3=90°，則可證明∠3=∠4，再根據圓周角定理得到∠ACB=90°，然后根據等角的余角相等得到∠BDC=∠5，從而根據等腰三角形的判定定理得到結論；

（2）根據勾股定理計算出AC=8，再證明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后證明OF為△ABD的中位線，從而根據三角形中位線性質求出OF的長．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵CF為切線，

∴OC⊥CF，

∴∠1+∠3＝90°，

∵BM⊥AB，

∴∠2+∠4＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠1＝∠2，

∴∠3＝∠4，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，

∴∠BDC＝∠5，

∴CF＝DF；

（2）在Rt△ABC中，AC＝＝8，

∵∠BAC＝∠DAB，

∴△ABC∽△ABD，

∴，即，

∴AD＝，

∵∠3＝∠4，

∴FC＝FB，

而FC＝FD，

∴FD＝FB，

而BO＝AO，

∴OF為△ABD的中位線，

∴OF＝AD＝．