Question

【題目】如圖直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，點B的坐標是（﹣8，0），點A的坐標為（﹣6，0）．

（1）求k的值．

（2）若點P是直線l在第二象限內一個動點，當點P運動到什么位置時，△PAC的面積為3，求出此時直線AP的解析式．

（3）在x軸上是否存在一點M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）P（﹣4，3）；y＝x+9．（3）（﹣18，0），（﹣，0），（2，0）或（8，0），見解析.

【解析】

（1）由點B的坐標，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出k值；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點C的坐標，設點P的坐標為（x，x+6），由S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC結合△PAC的面積為3，可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出點P的坐標，再利用待定系數法即可求出此時直線AP的解析式；

（3）利用勾股定理求出BC的長度，分CB＝CM，BC＝BM，MB＝MC三種情況考慮：①當CB＝CM時，由OM1＝OB＝8可得出點M1的坐標；②當BC＝BM時，由BM2＝BM3＝BC＝10結合點B的坐標可得出點M2，M3的坐標；③當MB＝MC時，設OM＝t，則M4B＝M4C＝8﹣t，利用勾股定理可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出點M4的坐標．綜上，此題得解．

（1）∵直線l：y＝kx+6過點B（﹣8，0），

∴0＝﹣8k+6，

∴k＝．

（2）當x＝0時，y＝x+6＝6，

∴點C的坐標為（0，6）．

依照題意畫出圖形，如圖1所示，

設點P的坐標為（x，x+6），

∴S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC，

＝×8×6﹣×2（x+6）﹣×6×6，

＝﹣x＝3，

∴x＝﹣4，

∴點P的坐標為（﹣4，3）．

設此時直線AP的解析式為y＝ax+b（a≠0），

將A（﹣6，0），P（﹣4，3）代入y＝ax+b，

得：，解得：，

∴當點P的坐標為（﹣4，3）時，△PAC的面積為3，此時直線AP的解析式為y＝x+9．

（3）在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，

∴BC＝＝10．

分三種情況考慮（如圖2所示）：

①當CB＝CM時，OM1＝OB＝8，

∴點M1的坐標為（8，0）；

②當BC＝BM時，BM2＝BM3＝BC＝10，

∵點B的坐標為（﹣8，0），

∴點M2的坐標為（2，0），點M3的坐標為（﹣18，0）；

③當MB＝MC時，設OM＝t，則M4B＝M4C＝8﹣t，

∴CM42＝OM42+OC2，即（8﹣t）2＝t2+62，

解得：t＝，

∴點M4的坐標為（﹣，0）．

綜上所述：在x軸上存在一點M，使得△BCM為等腰三角形，點M的坐標為（﹣18，0），（﹣，0），（2，0）或（8，0）．