Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A（﹣1，0）、B（2，0），交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點H，直線y=kx（k＞0）交拋物線于點M、N（點M在N的右側），交拋物線的對稱軸于點D．

（1）求b和c的值；

（2）如圖（1），若將拋物線y=x2+bx+c沿y軸方向向上平移個單位，求證：所得新拋物線圖象均在直線BC的上方；

（3）如圖（2），若MN∥BC．

①連接CD、BM，判斷四邊形CDMB是否為平行四邊形，說明理由；

②以點D為圓心，DH長為半徑畫圓⊙D，點P、Q分別為拋物線和⊙D上的點，試求線段PQ長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣1，c=﹣2；（2）證明見解析；（3）①不是平行四邊形，理由見解析②

【解析】

試題分析：（1）把A、B兩點代入轉化為方程組，即可解決問題．

（2）由消去y得到x2﹣2x+=0用判別式解決．

（3）根據兩點間距離公式，利用配方法轉化為二次函數最值問題即可解決．

解：（1）由題意，

解得，

所以b=﹣1，c=﹣2．

（2）∵拋物線為y=（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2，沿y軸方向向上平移個單位，

∴新拋物線為y=x2﹣x﹣，

設直線BC為y=kx+b，由題意得，

解得，

所以直線BC為y=x﹣2，

由消去y得到x2﹣2x+=0，

∵△=4﹣5=﹣1＜0，

∴方程組無解，拋物線與直線BC沒有交點．

（3）①∵MN∥BC，

∴k=1，OM＞OB，

∴MN≠BC，

∴四邊形CDMB不是平行四邊形．

②設點P（m，m2﹣m﹣2），

∵點D坐標為（，），

∴PD2=（m﹣）2+（m2﹣m﹣）2

=（m﹣）2+[（m﹣）2﹣]2

=（m﹣）4﹣（m﹣）2+

=[（m﹣）2﹣]2+，

∴PD2的最小值=，

∴PD的最小值=，

∵DQ=，

∴線段PQ的最小值=．