Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．
（1）判斷線段AC與AE是否相等，并說明理由；
（2）求過A、C、D三點的圓的直徑．

Answer 1

分析：（1）AC=AE，理由為：由∠ACB=90°，根據90°圓周角所對的弦為直徑得到AD為圓的直徑，利用AD為角平分線，得到一對圓周角相等，利用等角對等弧，得到弧CD=弧DE，進而確定出弧AC=弧AE，利用等弧對等弦即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，由AC與CB的長，利用勾股定理求出AB的長，再由AC=AE，由AB-AE求出EB的長，由一對直角相等，及一對公共角，得到三角形BDE與三角形ABC相似，由相似得比例求出ED的長，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的長，即為過A、C、D三點的圓的直徑．

解答：解：（1）AC=AE，理由為：
∵∠ACB=90°，
∴AD為直徑，
又∵AD是△ABC的角平分線，
∴

CD

=

DE

，
∴

AC

=

AE

，
∴在同一個⊙O中，AC=AE；                           

（2）∵在Rt△ABC中，AC=5，CB=12，
∴根據勾股定理得：AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
∵AE=AC=5，
∴BE=AB-AE=13-5=8，
∵AD是直徑，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AC

DE

=

BC

BE

，
∴DE=

10

3

，
∴AD=

AE2+DE2

=

52+( 10 3 )2

=

5 13

3

，
∴△ACD外接圓的直徑為

5 13

3

．

點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧及弦的關系，相似三角形的判定與性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．