Question

在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′在線段OP或其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．
（1）填空：
①如圖1，將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（

 

，

 

）；
②如圖2，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（

3

，90°），得到△ADE，則線段BD的長(zhǎng)為

 

cm；
（2）如圖3，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，點(diǎn)O₁，O₂，O₃分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用△AO₁O₃與△ABI，△CIB與△CAO₂之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說明線段O₁O₃與AO₂之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）①依題意已知1中△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，故可得A的坐標(biāo)．
②已知2中△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（

3

，90°），得到△ADE，可推出∠BAD=90°，利用勾股定理可求出BD的值．
（2）依題意可得△AO₁O₃經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換A（

2

，45°），得到△ABI，故線段O₁O₃變?yōu)榫�段BI；△CIB經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換C（

2

2

，45°），得到△CAO₂，此時(shí)，線段BI變?yōu)榫�段AO₂，易得其關(guān)系．

解答：解：（1）這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．已知1中△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，故可得A（2，60°）．
依題意：①2，60°；
②已知2中△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（

3

，90°），得到△ADE以及AD=

3

，
可推出∠BAD=90°，
利用勾股定理可求出BD=2；

（2）△AO₁O₃經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換A（

2

，45°），得到△ABI，此時(shí)，線段O₁O₃變?yōu)榫�段BI；
△CIB經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換C（

2

2

，45°），得到△CAO₂，此時(shí)，線段BI變?yōu)榫�段AO₂．
∵

2

×

2

2

=1，45°+45°=90°
∴O₁O₃=AO₂，O₁O₃⊥AO₂．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，難度中等．