Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），則∠A′BC=______，OA+OB+OC=______.

Answer 1

【答案】90° .

【解析】

（1）先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，則∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=90°；

（2）先判斷△BOO′為等邊三角形，所以OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，再證明點(diǎn)C、O、O′、A′共線(xiàn)，從而得到A′C=OC+OB+OA，然后利用勾股定理計(jì)算A′C即可．

解：（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=，

∴tan∠ABC==，AB=2，

∴∠ABC=30°，

∵將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），

∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，

∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°；

（2）∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°

∴△BOO′為等邊三角形，

∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，

而∠BOC=120°，

∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，

∴點(diǎn)O′在直線(xiàn)CO上，

同理可得點(diǎn)O、O′、A′共線(xiàn)，

∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，

∵∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，

∴A′C==，

即OA+OB+OC=．

故答案為90°，．