Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F，垂足為點O．
（1）連接AF，CE，求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵AC的垂直平分線EF，

∴AO=OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，

∵O A=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴平行四邊形AECF是菱形

（2）解：設AF=acm，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AF=CF=acm，

∵BC=8cm，

∴BF=（8﹣a）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2=a2，

解得：a=5，

即AF=5cm

【解析】（1）根據矩形的性質得出AD∥BC，求出∠AEO=∠CFO，根據全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根據全等三角形的性質得出OE=OF，根據菱形的判定推出即可；（2）設AF=acm，根據菱形的性質得出AF=CF=acm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出42+（8﹣a）2=a2 ， 求出a即可．
【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和矩形的性質的相關知識點，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．