Question

【題目】隨著人們生活水平的提高，對飲水品質的需求也越來越高，某商場購進甲、乙兩種型號的凈水器，每臺甲型凈水器比每臺乙型凈水器進價多200元，已知用5萬元購進甲型凈水器與用4.5萬元購進乙型凈水器的數量相等．

（1）求每臺甲型，乙型凈水器的進價各是多少元？

（2）該商場計劃花費不超過9.8萬元購進兩種型號的凈水器共50臺進行銷售，甲型凈水器每臺銷售2500元，乙型凈水器每臺售價2200元，商場還將從銷售甲型凈水器的利潤中按每臺a元（70＜a＜80）捐獻給貧困地區作為飲水改造扶貧資金．設該公司售完50臺凈水器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為W元，求W的最大值．

Answer 1

【答案】（1）甲型凈水器的進價為2000元/臺，乙型凈水器的進價為1800元/臺；（2）W的最大值為24000-40a．

【解析】

（1）設乙型凈水器的進價為x元/臺，則甲型凈水器的進價為（x+200）元/臺，根據用5萬元購進甲型凈水器與用4.5萬元購進乙型凈水器的數量相等列方程可求出x的值，檢驗后再求出x+200的值即可得答案；

（2）設購進甲型凈水器x臺，則購進乙型凈水器為（50-x）臺，根據總花費不超過9.8萬元可求出x的取值范圍；根據利潤W=（甲售價-進價-a）x+（乙售價-乙進價）（50-x），利用一次函數的性質及增減性即可得答案．

（1）設乙型凈水器的進價為x元/臺，則甲型凈水器的進價為（x+200）元/臺，

∵用5萬元購進甲型凈水器與用4.5萬元購進乙型凈水器的數量相等，

∴，

解得：x=1800，

經檢驗：x=1800是原分式方程的解，

∴x+200=2000，

答：甲型凈水器的進價為2000元/臺，乙型凈水器的進價為1800元/臺．

（2）設購進甲型凈水器x臺，則購進乙型凈水器為（50-x）臺，

∵計劃花費不超過9.8萬元購進兩種型號的凈水器共50臺進行銷售，

∴2000x+1800(50-x)≤98000，

解得：x≤40，

∵x為整數，

∴0≤x≤40，

∵該公司售完50臺凈水器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為W元，

∴W=（2500-2000-a）x+(2200-1800)(50-x)=(100-a)x+20000，

∵70＜a＜80，

∴100-a＞0，

∴W隨x的增大而增大，

∴當x=40時，W有最大值24000-40a．