Question

【題目】如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．

（1）求證：AE＝BD；

（2）請判斷△CMN的形狀，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）是等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質，結合條件可證明△ACE≌△DCB，則可證得AE＝BD；

（2）利用（1）的結論，結合等邊三角形的性質可證明△ACM≌△DCN，可證得MC＝NC，則可判定△CMN為等邊三角形．

（1）證明：

∵△ACD和△BCE是等邊三角形，

∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，

∵∠DCA＝∠ECB＝60°，

∴∠DCA＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE，∠ACE＝∠DCB，

在△ACE與△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD；

（2）解：△CMN為等邊三角形，理由如下：

∵由（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM＝∠CDN，

∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三點共線，

∴∠DCN＝60°，

在△ACM與△DCN中，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴MC＝NC，

∵∠MCN＝60°，

∴△MCN為等邊三角形．