Question

【題目】古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1，4，9，16…這樣的數稱為“正方形數”．觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規律：

（1）下圖反映了任何一個三角形數是如何得到的，認真觀察，并在④后面的橫線上寫出相應的等式；

（2）通過猜想，寫出（1）中與第八個點陣相對應的等式　 ；

（3）從下圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．結合（1）觀察下列點陣圖，并在⑤看面的橫線上寫出相應的等式．

（4）通過猜想，寫出（3）中與第n個點陣相對應的等式　 ；

（5）判斷256是不是正方形數，如果不是，說明理由；如果是，256可以看作哪兩個相鄰的“三角形數”之和？

Answer 1

【答案】（1）1+2+3+4＝=10；（2）1+2+3+…+8＝；（3）10+15＝52；（4）＝n2；（5）是正方形數，可以看作是120、136兩個相鄰的三角形數的和.

【解析】

（1）根據計算方法寫出即可；

（2）根據求解規律，用點陣的序數乘比序數大1的數，再除以2即可；

（3）根據（1）中三角形數的規律寫出即可；

（4）用第（n1）個三角形數加上第n個三角形數，整理即可得解；

（5）根據256＝162可得是正方形數，然后再計算三角形數即可．

解：（1）④1+2+3+4＝=10；

（2）第八個點陣相應的等式：1+2+3+…+8＝；

（3）⑤10+15＝52；

（4）第n個點陣相對應的等式：＝n2；

（5）∵256＝162，

∴256是正方形數，

而1+2+3+…+16=136，1+2+3+…+15=120，

∴可以看作是120、136這兩個相鄰的三角形數的和．