Question

（1997•西寧）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象拋物線G經過（-5，0），（0，

5

2

），（1，6）三點，直線l的解析式為y=2x-3
（1）求拋物線G的函數解析式；
（2）求證：拋物線G與直線L無公共點；
（3）若與l平行的直線y=2x+m與拋物線G只有一個公共點P，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）直接把點（-5，0），（0，

5

2

），（1，6）代入二次函數y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值即可；
（2）把（1）中求出的拋物線的解析式與直線l的解析式y=2x-3組成方程組，再根據一元二次方程根的判別式即可得出結論；
（3）把直線y=2x+m與拋物線G的解析式組成方程組，根據只有一個公共點P可知△=0，求出m的值，故可得出P點坐標即可．

解答：解：（1）∵次函數y=ax²+bx+c的圖象拋物線G經過（-5，0），（0，

5

2

），（1，6）三點，
∴

0=25a-5b+c 5 2 =c 6=a+b+c

，解得

a= 1 2 b=3 c= 5 2

，
∴拋物線G的函數解析式為：y=

1

2

x²+3x+

5

2

；

（2）∵由（1）得拋物線G的函數解析式為：y=

1

2

x²+3x+

5

2

，
∴

y=2x-3① y= 1 2 x2+3x+ 5 2 ②

，
①-②得，

1

2

x²+x+

11

2

=0，
∵△=1²-4×

1

2

×

11

2

=-10＜0，
∴方程無實數根，即拋物線G與直線L無公共點；

（3）∵與l平行的直線y=2x+m與拋物線G只有一個公共點P，
∴

y=2x+m y= 1 2 x2+3x+ 5 2

，消去y得，

1

2

x²+x+

5

2

-m=0①，
∵拋物線G與直線y=2x+m只有一個公共點P，
∴△=1²-4×

1

2

×（

5

2

-m）=0，解得m=2，
把m=2代入方程①得，

1

2

x²+x+

5

2

-2=0，解得x=-1，
把x=-1代入直線y=2x+2得，y=0，
∴P（-1，0）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，熟知待定系數法求一元二次方程的解析式及一元二次方程的解與△的關系式解答此題的關鍵．