Question

已知拋物線y=x²+kx-

3

4

k²（k為常數，且k＞0）．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸交于M、N兩點，若這兩點到原點的距離分別為OM、ON，且

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）可讓y=0，然后證所得的一元二次方程滿足△＞0即可．
（2）根據（1）的一元二次方程可求出方程的兩個根，也就是M、N兩點的橫坐標，根據給出的條件

1

ON

-

1

OM

=

2

3

，可得出M點橫坐標的絕對值要大于N的橫坐標的絕對值，因此可據此確定M、N兩點的坐標，即可得出OM，ON的長，然后代入給出的等量關系中，即可求出k的值．

解答：解：（1）△=k²-4×1×（-

3

4

k²）=4k²
∵k＞0，
∴△=4k²＞0．
∴此拋物線與x軸總有兩個交點．

（2）方程x²+kx-

3

4

k²=0的解是：
x=

1

2

k或x=-

3

2

k．
∵

1

ON

-

1

OM

=

2

3

＞0，
∴OM＞ON．
∵k＞0，
∴M（-

3

2

k，0），N（

1

2

k，0），
∴OM=

3

2

k，ON=

1

2

k．
∴

1

ON

-

1

OM

=

1

1 2 k

-

1

3 2 k

=

2

3

，
解得k=2．

點評：本題考查的是二次函數與一元二次方程的關系，當二次函數的y值為0時就可轉化成一元二次方程．