Question

18．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜邊上BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²
其中正確的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據旋轉的性質得BF=DC、∠FBA=∠C、∠BAF=∠CAD，由∠ABC+∠C=90°知∠ABC+∠FBA=90°，即可判斷①；
②由∠BAC=90°、∠DAE=45°知∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，繼而可得∠EAF=∠EAD，可判斷②；
③由BF=DC、EF=DE，根據BE+BF＞EF可判斷③；
④根據BE²+BF²=EF²可判斷④．

解答 解：∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴BF=DC，∠FBA=∠C，∠BAF=∠CAD，
又∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠FBA=90°，即∠FBC=90°，
∴BF⊥BC，故①正確；

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=∠DAE=45°，即∠EAF=∠EAD，
在△AED和△AEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠EAF=∠EAD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEF，故②正確；

∵BF=DC，
∴BE+DC=BE+BF，
∵△AED≌△AEF，
∴EF=DE，
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，故③錯誤，


∵∠FBC=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵BF=DC、EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，正確；
故選：C．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角．也考查了三角形全等的判定與性質以及勾股定理．