Question

已知關于x的方程：

x2+a

x-2

-a-1=0有一個增根為b，另一根為c．二次函數y=ax²+bx+c+7(-

3

2

≤x≤

3

2

)與x軸交于P和Q兩點．在此二次函數的圖象上求一點M，使得△PQM面積最大．

Answer 1

分析：方程

x2+a

x-2

-a-1=0可化簡為x²+a=（a+1）（x-2）．方程

x2+a

x-2

-a-1=0只有x=2時才有增根，可推出b=2；將x=2代入方程x²+a=（a+1）（x-2）得4+a=0即a=-4，再根據a的值求出c并確定解析式，再根據頂點坐標公式和x的取值范圍確定△PQM面積最大時M點的坐標．

解答：解：由題意可得b=2，a=-4代入方程得c=-5．
∴二次函數為y=-4x²+2x+2與x軸的交點為P（-

1

2

，0），Q（1，0），
當點M的橫坐標為x=-

3

2

或x=

1

4

或x=

3

2

時，
△PQM的面積可能取最大，
經比較可得x=-

3

2

時，△PQM的面積取最大，
此時y=-10即點M（-

3

2

，-10），
S△PQM=

15

2

．

點評：學會巧妙地利用分式方程的性質來解決問題，同時要明確增根問題可按如下步驟進行：
①確定增根；
②化分式方程為整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．