Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F，

①請你猜想寫出FE與FD之間的數量關系，不用說明理由；

②判斷∠AFC與∠B的數量關系，請說明理由.

（2）如圖2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他條件不變，請問你在（1）中所得FE與FD之間的數量關系是否依然成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①FE=FD；②∠AFC=2∠B；（2）FE=FD仍然成立，理由見解析．

【解析】

（1）①首先過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據角平分線的性質，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD；②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，利用三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角的和，可求出.（2）過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據角平分線的性質，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，繼而求得∠DFM=∠NFE，利用ASA，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD．

（1）①如圖1，過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，

∵F是角平分線交點，

∴BF也是角平分線，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC= ∠BAC=15°，

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

在△DMF和△ENF中，

∠DMF＝∠ENF，∠MDF＝∠NEF，MF=NF，

∴△DMF≌△ENF(AAS)，

∴FE=FD；

②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，所以∠AFC=120°，因為∠B=60°，所以∠AFC=2∠B.

（2）如圖2，過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，

∵F是角平分線交點，

∴BF也是角平分線，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四邊形BNFM是圓內接四邊形，

∵∠ABC=60°，

∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，

∵∠CFA=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠ABC)=180°- (180°-60°)=120°，

∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠NFE，

在△DMF和△ENF中，

∴△DMF≌△ENF(ASA)，

∴FE=FD．