Question

如圖所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D，E，F分別是三邊AB，BC，CA上的點，則DE+EF+FD的最小值為（　　）

• A、

  12

  5

• B、

  24

  5

• C、5
• D、6

Answer 1

分析：作F關于AB、BC的對稱點F′、F″，作AC關于AB、BC的對稱線段，可以發現F′，F″是一個菱形對邊上的關于中心B對稱的對稱點．容易發現，F′F″的最短距離就是菱形對邊的距離，也就是菱形的高．根據菱形的性質即可求出DE+EF+FD的最小值．

解答：解：作F關于AB、BC的對稱點F′、F″
則FD=F′D，FE=F″E．
DE+EF+FD=DE+F′D+F″E．
兩點之間線段最短，可知當F固定時，DE+F′D+F″E的最小值就是線段F′F″的長．
于是問題轉化：F運動時，F′F″什么時候最短．
F′，F″是關于B點對稱的．
作AC關于AB、BC的對稱線段，可以發現F′，F″是一個菱形對邊上的關于中心B對稱的對稱點．
很容易發現，F′F″的最短距離就是菱形對邊的距離，也就是菱形的高．

4×3×4

2

=5x
x=

24

5

，高是

24

5

，
故DE+EF+FD的最小值為

24

5

，
此時F在斜邊上的高的垂足點，D、E在B點．

點評：本題考查菱形的判定和性質及軸對稱--最短路線問題的綜合應用，有一定的難度．關鍵是確定F在斜邊上的高的垂足點，D、E在B點．