Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有兩個不相等的實數根x1、x2 ．
（1）求k的取值范圍；
（2）試說明x1＜0，x2＜0；
（3）若拋物線y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1與x軸交于A、B兩點，點A、點B到原點的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OAOB﹣3，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，

即﹣12k+5＞0

∴ ．

（2）解：∵ ，

∴x1＜0，x2＜0．

（3）解：依題意，不妨設A（x1，0），B（x2，0）．

∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），

OAOB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，

∵OA+OB=2OAOB﹣3，

∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，

解得k1=1，k2=﹣2．

∵ ，

∴k=﹣2．

【解析】（1）方程有兩個不相等的實數根，則判別式大于0，據此即可列不等式求得k的范圍；（2）利用根與系數的關系，說明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；（3）不妨設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．利用x1 ， x2表示出OA、OB的長，則根據根與系數的關系，以及OA+OB=2OAOB﹣3即可列方程求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解求根公式(根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根)，還要掌握根與系數的關系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商)的相關知識才是答題的關鍵．