Question

【題目】如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，

且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；

（2）連結FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（寫出兩對即可）（2）

【解析】試題分析：（1）根據已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根據相似三角形的性質，推出BG的長度，依據銳角三角函數推出AC的長度，即可求出CG、CF的長度，繼而推出FG的長度．

試題解析：（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（寫出兩對即可）

以下證明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B

∴△AMF∽△BGM．

（2）連接FG，

當α＝45°時，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M為AB的中點，

∴AM＝BM＝

又∵AMF∽△BGM，

∴

∴

又，

∴，

∴