Question

（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，與軸交于點，拋物線過點、點，且與軸的另一交點為，其中＞0，又點是拋物線的對稱軸上一動點．

（1）求點的坐標，并在圖1中的上找一點，使到點與點的距離之和最小；

（2）若△周長的最小值為，求拋物線的解析式及頂點的坐標；

（3）如圖2，在線段上有一動點以每秒2個單位的速度從點向點移動(不與端點、重合)，過點作∥交軸于點,設移動的時間為秒，試把△的面積表示成時間的函數，當為何值時，有最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

見解析

解析:（1）由題意直線AC與x軸的交點為A，

所以當y=0，則x=﹣6，

所以點A（﹣6，0）．

同理點C（0，8），

由題意，A、B是拋物線y=ax²+bx+8與x軸的交點，

∴﹣6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的兩個根，

∴﹣6+x₀=﹣，﹣6x₀=，

∴a=﹣，b=﹣+．

∵A、B點關于拋物線對稱，∴BC所在直線與對稱軸的交點即為P₀．

設直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx₀+n=0，

∴m=﹣，n=8．

∴BC的解析式為y=﹣x+8．

∴當x=﹣=時，y=+4，

∴P₀的坐標為（，+4）；

（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10，

+=10，

解得x₀=10或x₀=﹣10（不符舍去），

則點B（10，0），

由點A，B，C三點的二次函數式為y==﹣（x﹣2）²+．

頂點N（2，）；

（3）如圖，作MN⊥BC于點N，

則△OBC∽△NCM，

所以=，

即h=．

因為MH∥BC，

所以，

解得MH==，

S=MHh，

=×（8﹣2t）×，

=10t﹣，

因為每秒移動2個單位，

則當t=2時符合范圍0＜t＜4，

所以當t為2時S最大為10；