Question

【題目】如圖1，△ABC中，D、E、F三點(diǎn)分別在AB，AC，BC三邊上，過(guò)點(diǎn)D的直線與線段EF的交點(diǎn)為點(diǎn)H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．

（1）求證：DE∥BC；

（2）在以上條件下，若△ABC及D，E兩點(diǎn)的位置不變，點(diǎn)F在邊BC上運(yùn)動(dòng)使得∠DEF的大小發(fā)生變化，保證點(diǎn)H存在且不與點(diǎn)F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)F應(yīng)該滿足的位置條件，在圖2中畫(huà)出符合條件的圖形并說(shuō)明理由．

（3）在（2）的條件下，若∠C=α，直接寫(xiě)出∠BFH的大小 ．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3) 90°+.

【解析】

（1）欲證明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根據(jù)外角性質(zhì)，將∠1轉(zhuǎn)化為∠3+∠4，再根據(jù)∠1與∠2互補(bǔ)，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后將∠3=∠C代入即可得出結(jié)論；

（2）點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到∠DEC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)位置時(shí)，∠1=∠BFH成立．

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，得出∠2的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）如圖1．

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4．

又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°．

∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC；

（2）如圖2．

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①

∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFH=∠2+∠C．

當(dāng)∠1=∠BFH時(shí)，∠1=∠2+∠C，②

由①②得：∠3+∠DEF=∠2+∠C．

∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到∠DEC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)位置時(shí)，∠1=∠BFH成立．

（3）∵EF平分∠DEC，∴∠DEF=∠2．

∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C=180°，∴2∠2+α=180°，∴∠2==．

∵∠BFH=∠2+∠C==．