Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B的路徑運動，且速度為每秒2cm，設點P的運動時間為t秒．

（1）則AC=______cm；

（2）當BP平分∠ABC，求此時點P的運動時間t的值；

（3）點P運動過程中，△BCP能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）t為s或s或3s或s時，△BCP為等腰三角形.

【解析】

(1)直接由勾股定理得，可得AC的值；

（2）作PE⊥AB于E，可得△BPE≌△BPC，可得BE=BC=3，PE=PC，AE=5-BE=2，AP=4-PC，在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即（4-PC）2=22+PC2，可得PC的值，可得時間.

(3)分CP=CB，BP=BC=3，CP=CB=3，PC=PB 幾種情況討論可得t的值.

解：（1）由勾股定理得，AC==4（cm），

故答案為：4；

（2）作PE⊥AB于E，

在△BPE和△BPC中，

，

∴△BPE≌△BPC（AAS）

∴BE=BC=3，PE=PC，

∴AE=5-BE=2，AP=4-PC，

在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即（4-PC）2=22+PC2，

解得，PC=，

當BP平分∠ABC時，點P的運動時間t=÷2=秒；

（3）如圖2，當CP=CB時，△BCP為等腰三角形，

若點P在CA上，則2t=3，

解得t=（s）；

如圖3，當BP=BC=3時，△BCP為等腰三角形，

∴AP=AB-BP=2，

∴t=（4+2）÷2=3（s）；

如圖4，若點P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，則根據面積法求得CD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=，

∴PB=2BD=

∴CA+AP=4+5-=5.4，

此時t=5.4÷2=2.7（s）；

如圖5，當PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則BD=CD，

∴PD為△ABC的中位線，

∴AP=BP=AB=，

∴t=（4+）÷2=（s）；

綜上所述，t為s或s或3s或s時，△BCP為等腰三角形；