Question

如圖AB是⊙O的直徑，弦DC⊥AB于點E，在

AD

上取一點F，連接CF交AB于點M，連接DF并延長交BA的延長線于點N．
求證：
（1）∠DFC=∠DOB；
（2）MN•OM=MC•FM．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由圓周角定理，易知∠DFC=

1

2

∠DOC，根據垂徑定理，易證∠DOB=

1

2

∠DOC，由此可證得∠DFC=∠DOB；
（2）可通過證△NFM∽△MOC來得出所求的結論．

解答：證明：（1）連接OC，
∵DC⊥AB，OD=OC，
∴∠DOB=

1

2

∠DOC．
∵∠DFC=

1

2

∠DOC，
∴∠DFC=∠DOB．

（2）∵∠DFC=∠DOB，
∴∠DFC=∠BOC．
∴∠MFN=∠MOC．
又∵∠FMA=∠OMC，
∴△NFM∽△MOC．
∴

MN

FM

=

MC

OM

，即MN•OM=MC•FM．

點評：本題主要考查圓周角定理和相似三角形的判定和性質；證線段積的關系，通常是證這些線段所在的三角形相似．