Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，等腰Rt△ADE的兩個頂點D、E和正方形頂點B三點在一條直線上．

（1）如圖1，連接OD，求證：△OAD≌△BAE；

（2）如圖2，連接CD，求證：BE﹣DE=CD；

（3）如圖3，當圖1中的Rt△ADE的頂點D與點B重合時，點E正好落在x軸上，F為線段OC上一動點（不與O、C重合），G為線段AF的中點，若CG⊥GK交BE于點K時，請問∠KCG的大小是否變化？若不變，請求其值；若改變，求出變化的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）∠KCG的大小不變，

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF，由此得∠OAD=∠BAE，根據SAS證明△OAD≌△BAE；（2）作輔助線構建正方形ANDM和等腰直角三角形CFD，把所求CD轉化為CF，證CF=OM，由（1）中的全等可知∠ODA=∠BEA=45°，證明∠ODC=45°，推出CF與CD的關系，利用直角三角形斜邊中線和正方形的性質求出BE﹣DE的值為OM，得出結論；（3）作輔助線構建正方形BMKN和全等三角形，首先利用全等證明CG=QG，由線段垂直平分線性質得KC=KQ，證明Rt△CNK≌Rt△QMK，得∠CKN=∠QKM，可知∠CKQ=90°，得△KCQ是等腰直角三角形，因此得出結論：∠KCG的大小不變，等于45°．

（1）如圖1，在正方形ABCO中，

∵∠BAF=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠EAF，

∴∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF，

即∠OAD=∠BAE，

∵AB=AO，AD=AE，

∴△OAD≌△BAE；

（2）如圖2，設CD與AB的交點為P，

過C作CF⊥OD于F，過A作AN⊥DE于N，AM⊥OD于M，

∵等腰Rt△ADE，AD=AE，

∴AN=DN=DE，

∴四邊形ANDM是正方形，

∴DN=DM，

∴BE﹣DE=OD﹣DM=OM，

由①△OAD≌△BAE得，∠ODA=∠BEA=45°，

∴∠ODE=90°，

∵∠OAB=∠ODB=90°，∠OPA=∠BPD，

∴△OAP∽△BDP，

∴，

∴，

∵∠CBD=90°+∠ABE，∠APD=90°+∠AOD，

∠ABE=∠AOD，

∴∠CBD=∠APD，

∴△CBD∽△APD，

∴∠CDB=∠ADO=45°，

∴∠ODC=90°﹣45°=45°，

∵sin45°=，

∴CF=，

∵△COF≌△OAM，

∴CF=OM，

∴BE﹣DE=CD；

（3）如圖3，∠KCG的大小不變，理由是：

過K作KM⊥AB于M，KN⊥BC，交CB的延長線于N，延長CG、BA交于Q，連接KQ，

∵∠N=∠MBN=∠BMK=90°，

∴四邊形BMKN是矩形，

∵AB=AE，∠BAE=90°，

∴∠ABE=45°，

∴BM=KM，

∴矩形BMKN是正方形，

∵OC∥AB，

∴∠OCG=∠GQA，

∵FG=AG，∠CGF=∠AGQ，

∴△FCG≌△AQG，

∴CG=QG，

∵CG⊥GK，

∴KC=KQ，

∵KN=KM，

∴Rt△CNK≌Rt△QMK，

∴∠CKN=∠QKM，

∴∠CKQ=∠CKM+∠MKQ=∠CKM+∠CKN=90°，

∴△KCQ是等腰直角三角形，

∴∠KCG=∠KQC=45°．