Question

（2013•大港區(qū)一模）已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點(diǎn)A（3，2）
（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象信息回答問題：在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值？
（3）M（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，其中0＜m＜3過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，求過點(diǎn)M、A的一次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A為正比例與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=ax中，求出a的值，確定出正比例函數(shù)的解析式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

中，求出k的值，確定出反比例函數(shù)的解析式；
（2）由A的橫坐標(biāo)及函數(shù)圖象可得出反比例函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值時(shí)，x的范圍范圍；
（3）過M作MQ垂直于x軸，由M為反比例函數(shù)上的點(diǎn)，將M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出mn=6，同時(shí)由三個(gè)角的為直角的四邊形為矩形得到四邊形BOCD為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得出BO=DC，又BMNO為矩形，得到MN=BO，由M的縱坐標(biāo)為n，得到MQ=BO=DC=n，橫坐標(biāo)為m，得到BM=m，由A的坐標(biāo)得出AC及OC的長，四邊形OADM的面積=矩形BOCD的面積-三角形BMO的面積-三角形AOC的面積，利用矩形及三角形的面積公式分別表示出各自的面積，將mn=6及四邊形OADM的面積為6代入，得出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，進(jìn)而求出m的值，即可確定出M的坐標(biāo)，設(shè)過M，A的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A和M的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）把A（3，2）分別代入y=ax，y=

k

x

中，
得 2=3a，2=

k

3

，
∴a=

2

3

，k=6，
∴正比例函數(shù)的解析式為y=

2

3

x，反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

；

（2）由圖象及A（3，2）知：在第一象限內(nèi)，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；

（3）過M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，如圖所示：
∵M(jìn)（m，n）（0＜m＜3）是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，且四邊形OCDB為矩形，
∴mn=6，BM=m，BO=DC=MQ=n，
又A（3，2），
∴AC=2，OC=3，又mn=6，
∴S_{四邊形OADM}=S_矩形OCDB-S_△BMO-S_△AOC=3n-

1

2

mn-

1

2

×2×3=3n-6=6，
解得：n=4，
由mn=6，得到4m=6，解得：m=

3

2

，
∴M坐標(biāo)為（

3

2

，4），又A（3，2），
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
把M和A代入y=kx+b，得 

4= 3 2 k+b 2=3k+b

，
∴

k=- 4 3 b=6

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-

4

3

x+6．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，矩形的判定與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想，是中考中常考的題型．