Question

【題目】如圖，點(diǎn)是正方形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，連接，為中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，試猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）且，詳見解析；（2）猜想成立，詳見解析；（3）猜想成立

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，利用三角形的全等判定和性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別分析即可得出；
（3）根據(jù)題意作出圖形，利用（2）中證明思路即可得出答案．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，且，理由如下：
∵四邊形是正方形，為對(duì)角線，

∴，，

在△ABP和△ADP中，

，
∴△ABP≌△ADP，
∴，，，

又∵，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵正方形中，，

∴，

∴；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，且，理由如下：

∵四邊形是正方形，為對(duì)角線，

∴，，

又，

∴，

∴，

又∵，

∴，

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；

②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，

∵，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

綜上所述：．

∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，（1）中的猜想成立；

（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，（1）中的猜想成立．

∵四邊形是正方形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，

∴，，

又，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．