Question

如圖，矩形OABC放置在第一象限內，已知A(3，0)，∠AOB＝30°，反比例函數y＝的圖像交BC、AB于點D、E．
(1)若點D為BC的中點，試證明點E為AB的中點；
(2)若點A關于直線OB的對稱點為F，試探究：點F是否落在該雙曲線上？

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

試題分析：（1）根據直角三角形的性質，可得AB的長，根據矩形的性質，可得D點的坐標，根據待定系數法，可得反比例函數解析式，根據圖象上的點滿足函數解析式，可得證明結論；
（2）根據對稱的性質，可得∠AOF的大小，OF與OA的關系，根據直角三角形的性質，可得F點的坐標，根據F點縱橫坐標的乘積與反比例函數解析式中k的值，可得答案．
試題解析：（1）證明：∵OA=3，∠AOB=30°，
∴AB=．
∵D點D為BC的中點，
∴D（1.5，）．
∴反比例函數解析式是y=．
當x_E=3時，y_E=，
∴E為AB的中點；
（2）作FG⊥OA于點G，如圖：點F沒有落在雙曲線上．
，
∵點A的對稱點為，
∴∠AOF=60°．
∵OF=OA=3，
∴OG＝，FG＝．
∴F(，)．
∵×≠，
∴點F沒有落在雙曲線上．