Question

如圖，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，點A、B在x軸上，直線y=mx+n（0＜m＜n＜

1

2

），過點A、C交y軸于點E，S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，拋物線y=ax²+bx+c過點A、B，且頂點G在直線y=mx+n上，拋物線與y軸交于點F．
（1）點A的坐標為

（-3n，0）

；B的坐標

（-n，0）

（用n表示）；
（2）abc=

-

4

9

．

Answer 1

分析：（1）根據直線AE的解析式可得到點E的坐標，已知AB=3BC，即AO=3OE，由此可求得點A的坐標；易求得△AOE的面積，即可得到矩形ABCD的面積，由于AB=3BC，可用AB表示出矩形ABCD的面積，進而可得到AB的值（含n的表達式），由此可確定點B的坐標．
（2）由于點G是拋物線的頂點，即在拋物線的對稱軸上，根據A、B的坐標，可求得點G的橫坐標，而G點在直線AE上，那么G點的縱坐標應該是AB的

1

6

（由于AB=3BC=6y_G），由此可確定點G的坐標；可將拋物線設為頂點坐標式，將A或B的坐標代入其中，即可求出含n的拋物線解析式，進而可求出abc的值．

解答：解：（1）直線AE中，y=mx+n，則E（0，n）；
∵AB=3BC，則tan∠CAB=

1

3

，
∴OA=3OE=3n，即A（-3n，0）；
△AOE中，AO=3n，OE=n，則S_△AOE=

1

2

OA•OE=

3n2

2

；
矩形ABCD中，AB=3BC，則S_矩形ABCD=AB•BC=

1

3

AB²；
∵S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，
∴

3n2

2

=

9

8

×

1

3

AB²，即AB=2n，
故OB=OA-AB=3n-2n，即B（-n，0），
∴A（-3n，0），B（-n，0）；

（2）∵G是拋物線的頂點，且A（-3n，0），B（-n，0），
∴G點的橫坐標為-2n；
易知G是線段AC的中點，故AB=3BC=6y_G，
∴G點的縱坐標為

1

3

n；
即G（-2n，

1

3

n）；
設拋物線的解析式為y=a（x+2n）²+

1

3

n，
將A（-3n，0）代入上式，得：a×n²+

1

3

n=0，即a=-

1

3n

；
∴y=-

1

3n

（x+2n）²+

1

3

n=-

1

3n

x²-

4

3

x-n；
則abc=（-

1

3n

）×（-

4

3

）×（-n）=-

4

9

．
故答案為：（1）（-3n，0）；（-n，0）；（2）-

4

9

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、函數解析式的確定、圖形面積的求法等重要知識，由于本題中大部分數據都是字母，乍看之下無從下手，但是只要將字母當做已知數來對待，即可按照常規思路解決問題．