Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（8，8），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．

（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數；判斷線段HG、OH、BG的數量關系，并說明理由；
（3）連結BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∵正方形ABCO繞點C旋轉得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴△CDG≌△CBG（HL）

（2）解：∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵ ，

∴△CHO≌△CHD（HL），

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG

（3）解：四邊形AEBD可為矩形．

如圖，連接BD、DA、AE、EB，

四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，

∴當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形．

∵四邊形DAEB為矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=6，

∴AG=BG=3．

設H點的坐標為（x，0），則HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=3．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，

∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．

∴H點的坐標為（2，0）．

【解析】（1）根據旋轉的性質正方形ABCO繞點C旋轉得到正方形CDEF，，得到對應邊、對應角相等，得到△CDG≌△CBG；（2）由（1）知△CDG≌△CBG，得到對應邊、對應角相等，得到△CHO≌△CHD，根據全等三角形的對應邊、對應角相等，得到∠OCH=∠DCH，OH=DH，由正方形的性質，得到HG=HD+DG=HO+BG；（3）根據四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候，由DG=BG，得到DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形；再根據勾股定理求出H點的坐標.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．