Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為半徑作⊙B，交AB于點C，交AB的延長線于點E，連接CD、CE．

（1）求證：△ACD∽△AEC；

（2）當時，求tanE；

（3）若AD=4，AC=4，求△ACE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）12

【解析】試題分析：(1)、根據直徑所對的圓周角為直角以及BC=CE得出∠ACD=∠E，然后根據∠A為公共角得出三角形相似；(2)、設AC=4k，則BC=3k，則AE=8k，根據三角形相似得出tanE==得出答案；(3)、過點E作EH⊥AC，垂足為H.設⊙B的半徑為R，根據Rt△ABC的勾股定理得出R的值，然后根據△ABC∽△AEH得出EH的長度，從而求出△ACE的面積.

試題解析：（1）∵DE為⊙B的直徑，

∴∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCE.

∵BC=CE，

∴∠BCE=∠E，

∴∠ACD=∠E，

又∵∠CAD=∠EAC，

∴△ACD∽△AEC；

（2）∵，

設AC=4k，則BC=3k，

∴在Rt△ABC中，AB=5k，BD=3k，AE=AB+BE=8k.

由（1）知：△DCE為直角三角形，

則tanE=.

∵△ACD∽△AEC，

∴===，

即tanE==；

（3）過點E作EH⊥AC，垂足為H.設⊙B的半徑為R.

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=AC2+BC2，

∴（4+R）2=（4）2+R2，

解得R=4.

即BC=4，DE=2BC=8，AB=8，AE=12.

∵∠ACB=∠AHE=90°，∠CAB=∠CAE，

∴△ABC∽△AEH，

∴，

即，

解得EH=6，

∴△ACE的面積為AC·EH=×4×6=12