Question

【題目】已知，如圖：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是長方形，點A、C、D的坐標分別為A（9，0）、C（0，4），D（5，0），點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿O[Math Processing Error] C[Math Processing Error] B[Math Processing Error] A運動，點P的運動時間為t秒.

（1）當t=5時， P點坐標為____________；

（2）當t>4時，OP+PD有最小值嗎？如果有，請算出該最小值，如果沒有，請說明理由；

（3）當t為何值時，△ODP是腰長為5的等腰三角形？（直接寫出t的值）.

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（1，4）；（2）有最小值，最小值為；（3）t=7或12或14.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，OC=4，故當t=5時，點P在BC上，且PC=5-4=1，由此即可得此時點P的坐標；

（2）如圖1，由題意可知，需分兩種情況討論，①當點P在BC上運動時，作點O關于BC的對稱點O1，連接DO1，交BC于點P1，此時OP+PD最短，最短值等于DO1；②當點P在AB上運動時，當P與A重合時，OP+PD最短，此時最短值等于AO+AD；分上述兩種情況計算，并比較兩種情況計算結果的大小，即可得到所求值；

（3）如圖2，由題意，需分OD是底邊和腰兩種情況討論，①當OD是底邊時，點P是OD的垂直平分線與BC的交點P1；②當OD是腰時，以D為圓心，DO為半徑作圓，所作圓與BC、AB的交點即為所求P點，由圖可知此時，點P有三個位置，分別在圖中的P2、P3、P4處；根據四個點P的位置結合已知條件即可求出對應的t的值，并檢驗此時等腰△ODP的腰長是否為5即可得到答案.

試題解析：

（1）∵點C的坐標為：（0，4），

∴OC=4，

∵當t=5時，OC+CP1=5，

∴CP1=1，

∴此時點P的坐標為：P(1，4）；

（2）如圖1，當t＞5時，點P在線段BC上或AB上，此時OP+PD有最小值，現分兩種情況討論如下：

①當點P在BC上時，

作點O關于BC為對稱軸的對稱點O′，此時O′(0，8)，

連結O′D交BC于P，則OP+PD=O′D=；

②當點P在AB上時，由圖可知當點P與點A重合時，OP+PD最小，此時OP+OD=OA+DA=13；

綜合①②，∵，

∴ OP+PD的最小值是；

（3）如圖2，由題意分OD是底邊和腰兩種情況討論如下：

①當OD是底邊時，點P是OD的垂直平分線與BC的交點P1，此時CP1=OD=2.5，

又∵OC=4，

∴對應的t1=(OC+CP1)÷1=6.5，

∵此時△ODP的腰長=，

∴此種情況不符合要求；

②當OD是腰時，以D為圓心，DO為半徑作圓，所作圓與BC、AB的交點P2、P3、P4為所求P點，過點P3作P3E⊥OA于點E，

由題意可知：OP2=OD=5=DP3=DP4，

∴由勾股定理可得：在Rt△OCP2中，CP2=；在Rt△DP3E中，DE=；在Rt△DP4A中，AP4=；

∴t2=(OC+CP2)÷1=7；t3=(OC+CP3)÷1=12；t4=(OC+BC+AB-AP4)÷1=14；

綜上所述，當t的值分別為：t=7或t=12或t=14時，△ODP是腰長為5的等腰三角形.