Question

【題目】如圖，在⊙O中，點C為 的中點，∠ACB＝120°，OC的延長線與AD交于點D，且∠D＝∠B．

（1）求證：AD與⊙O相切；

（2）若CE＝4，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8

【解析】

（1）連接OA，由，得CA=CB，根據題意可得出∠O=60°，從而得出∠OAD=90°，則AD與⊙O相切；

（2）由題意得OC⊥AB，Rt△BCE中，由三角函數得BE=4，即可得出AB的長．

（1）證明：如圖，連接OA，

∵，

∴CA＝CB，

又∵∠ACB＝120°，

∴∠B＝30°，

∴∠O＝2∠B＝60°，

∵∠D＝∠B＝30°，

∴∠OAD＝180°﹣（∠O+∠D）＝90°，

∴AD與⊙O相切；

（2）∵∠O＝60°，OA＝OC，

∴△OAC是等邊三角形，

∴∠ACO＝60°，

∵∠ACB＝120°，

∴∠ACB＝2∠ACO，AC＝BC，

∴OC⊥AB，AB＝2BE，

∵CE＝4，∠B＝30°，

∴BC＝2CE＝8，

∴BE＝＝＝4，

∴AB＝2BE＝8，

∴弦AB的長為8．