Question

26、能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數，我們稱之為一組勾股數，觀察下列表格所給出的三個數a，b，c，a＜b＜c．
（1）試找出它們的共同點，并證明你的結論；
（2）寫出當a=17時，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）根據表格找出規律再證明其成立；
（2）把已知數據代入經過證明成立的規律即可．

解答：解：（1）以上各組數的共同點可以從以下方面分析：
①以上各組數均滿足a²+b²=c²；
②最小的數（a）是奇數，其余的兩個數是連續的正整數；
③最小奇數的平方等于另兩個連續整數的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…
由以上特點我們可猜想并證明這樣一個結論：
設m為大于1的奇數，將m²拆分為兩個連續的整數之和，即m²=n+（n+1），
則m，n，n+1就構成一組簡單的勾股數，
證明：∵m²=n+（n+1）（m為大于1的奇數），
∴m²+n²=2n+1+n²=（n+1）²，
∴m，n，（n+1）是一組勾股數；

（2）運用以上結論，當a=17時，
∵17²=289=144+145，
∴b=144，c=145．

點評：解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a²+b²=c²，則三角形ABC是直角三角形．