Question

如圖1，已知等邊△ABC的邊長為1，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點（均不與點A、B、C重合），記△DEF的周長為p．
（1）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點，則p=

 

；
（2）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點，則p的取值范圍是

 

．
小亮和小明對第（2）問中的最小值進行了討論，小亮先提出了自己的想法：將△ABC以AC邊為軸翻折一次得△AB₁C，再將△AB₁C以B₁C為軸翻折一次得△A₁B₁C，如圖2所示．則由軸對稱的性質可知，DF+FE₁+E₁D₂=p，根據兩點之間線段最短，可得p≥DD₂．老師聽了后說：“你的想法很好，但DD₂的長度會因點D的位置變化而變化，所以還得不出我們想要的結果．”小明接過老師的話說：“那我們繼續再翻折3次就可以了”．請參考他們的想法，寫出你的答案．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的中位線的性質即可求得答案；
（2）根據翻折變換的性質將△ABC翻折5次，再利用梯形的性質求解即可．

解答：解：（1）∵等邊△ABC的邊長為1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

，EF=

1

2

AB=

1

2

，DF=

1

2

BC=

1

2

，
∴△DEF的周長為p=

1

2

+

1

2

+

1

2

=

3

2

；

（2）
根據題意與由軸對稱的性質可知，D₂F₂+F₂E₃+E₃D₄=p，
∵D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點時D₂、F₂、E₃、D₄共線，
∴當D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點時，p最小值為：

1

2

（A₁B₂+A₂B₁）=

3

2

，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范圍是：

3

2

≤p＜3．
故答案為：（1）

3

2

，（2）

3

2

≤p＜3．

點評：此題考查了三角形與梯形中位線的性質，以及翻折變換的性質．此題綜合性很強，難度較大，注意數形結合思想的應用．