Question

【題目】（本題滿分10分）（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P.求證：.

（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點.

①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；

②如圖3，求證MN2=DM·EN.

Answer 1

【答案】（1）證明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，

∴DP/BQ＝AP/AQ.

同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ.

∴DP/BQ＝EP/CQ.（2）①

②證明：∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°.∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.……3分∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG

又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

∴MN2＝DM·EN

【解析】略