Question

【題目】如圖，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分…將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，則稱∠BAC是△ABC的好角．

（1）若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C （設∠B＞∠C）之間的等量關系為 ．
（2）若一個三角形的最小角是4°，且該三角形的三個角均是此三角形的好角．請寫出符合要求三角形的另兩個角的度數 ． （寫出一種即可）

Answer 1

【答案】
（1）∠B=n∠C
（2）4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°
【解析】解：（1）∠B=3∠C；如圖所示，

在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．

證明如下：∵根據折疊的性質知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，

∴根據三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，

根據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C；

由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；

所以答案是：．（2）由（1）知設∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；

∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n為正整數得4+4n+4mn=180

∴如果一個三角形的最小角是4°，三角形另外兩個角的度數是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

所以答案是：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°

【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的外角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．