Question

如圖1，已知矩形OABC中，OC=10，OA=6，在OA、OC邊上選取適當的點E、F，將△OEF沿EF對折，使O點落在AB邊上的D點．
（1）當點E取在點A上，得圖2，求出相應的OF的長；
（2）寫出OF的取值范圍；
（3）在如圖1中過點D作DG∥AO交EF于點T，交OC于點G，連接OT，得到圖3
①證明四邊形OEDT是菱形；
②設AD長為x，請你利用所學的函數及其圖象的有關知識判斷，當x取什么值時，菱形OEDT的周長L取最大值，并求出周長L的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對折和矩形的性質得出∠OAF=∠DAF=∠AFO，推出OF=OA即可；
（2）根據圖形即可求出答案；
（3）①根據SAS證△OTF≌△DTF，推出∠TOF=∠TDF=∠ADE，再證Rt△AED≌Rt△GTO，推出ED=OT，根據平行四邊形的性質求出OE=DT，即可推出答案；
②根據勾股定理得出方程（10-x）²=10²-6²，求出x，依題意得出方程，化成頂點式即可求出答案．
解答：（1）解：在圖1中，根據題意
∵矩形ABCO，
∴AB∥OC，∠BAC=90°，
∵△EOF延AF折疊得到△ADF，
∴∠OAF=∠DAF=45°=∠AFO，
∴OF=OA=6
答：相應的OF的長是6．

（2）答：OF的取值范圍是0＜OF≤6．

（3）①證明：∵FD=FO，∠DFE=∠EFO，FT=FT，
∴△OTF≌△DTF，
∴∠TOF=∠TDF=∠ADE，
∵AD=OG，∠A=∠TGO=90°，
∴Rt△AED≌Rt△GTO，
∴ED=OT，
∵OA=DG，AE=TG，
∴DT=EO，
∴ED=DT=OT=OE，
∴四邊形OEDT是菱形．

②解：利用圖2′Rt△DBC得：（10-x）²=10²-6²，
解得x=2或x=18（不合題意，舍去），
利用圖2及（1）的結果得x=6，
所以2≤x≤6，
依題意得：，
所以（2≤X≤6），
由于函數值L在坐標軸（L軸）的右側隨x的增大而增大，所以當x=6時，L取最大值，
即，

答：當x取6時，菱形OEDT的周長L取最大值，周長L的最大值是24．
點評：本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，菱形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．